РЕГУЛЯРНЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА БАЗОВЫХ БЕНТ-КВАДРАТОВ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА

Рассматриваются вопросы конструирования классов максимально нелинейных булевых бент-функций произвольной длины N = 2^k (k = 2, 4, 6, …) на основе их спектрального представления – бент-квадратов Агиевича. Данные совершенные алгебраические конструкции являются основой для построения многих криптографических примитивов, таких как генераторы псевдослучайных ключевых последовательностей, криптографические S-блоки подстановки и т. д. Бент-функции находят свое применение для построения C-кодов в системах с кодовым разделением каналов, которые обладают минимально возможным значением пик-фактора k = 1, а также для построения систем ортогональных бифазных сигналов и помехоустойчивых кодов. Все многочисленные применения бент-функций связаны с теорией их синтеза. Однако регулярные методы синтеза полных классов бент-функций произвольной длины N = 2^k в настоящее время неизвестны. В статье предложен регулярный метод синтеза базовых бент-квадратов Агиевича произвольного порядка n на основе регулярного оператора диадного сдвига. Выполнена классификация полного множества спектральных векторов длин (l = 8, 16, …) на основе критерия максимального абсолютного значения и набора абсолютных значений спектральных компонент. Показано, что любой спектральный вектор может быть основой для построения бент-квадрата. Обобщены результаты синтеза бент-квадратов Агиевича порядка n = 8, показано, что существуют только три базовых бент-квадрата для данного порядка, тогда как еще пять могут быть получены с помощью операции ступенчато циклического сдвига. Синтезированы все базовые бент-квадраты порядкаn = 16, позволяющие построение бент-функций длиной N = 256. Полученные базовые бент-квадраты могут служить как для непосредственного синтеза бент-функций и их практического использования, так и для проведения дальнейших исследований с целью синтеза новых структур бент-квадратов для порядков n = 16, 32, 64, …

1. Токарева, Н. Н. Бент-функции: результаты и приложения: обзор работ / Н. Н. Токарева // Прикладная дискретная математика. 2009. № 1 (3). С. 15–37.

2. Мазурков, М. И. Генератор ключевых последовательностей на основе дуальных пар бент-функций / М. И. Мазурков, Н. А. Барабанов, А. В. Соколов // Труды Одесского политехнического университета. 2013. № 3 (42). С. 150–156.

3. Соколов, А. В. Быстродействующий генератор ключевых последовательностей на основе клеточных автоматов / А. В. Соколов // Праці Одес. політехн. ун-ту. 2014. № 1 (43). С. 180–186.

4. Paterson, K. G. Sequences for OFDM and Multi-Code CDMA: Two Problems in Algebraic Coding Theory // Sequences and their Applications. Seta 2001. Second Int. Conference (Bergen, Norway, May 13–17, 2001). Proc. Berlin: Springer, 2002. P. 46–71.

5. Rothaus, O. S. On “Bent” Functions / O. S. Rothaus // Journal of Combinatorial Theory, Series A. 1976. Vol. 20 No 3. P. 300–305.

6. Мазурков, М. И. Регулярные прaвила построения полного класса бент-последовательностей длины 16 / М. И. Мазурков, А. В. Соколов // Праці Одес. політехн. ун-ту. 2013. № 2 (41). С. 231–237.

7. Meng, Qingshu. A Novel Algorithm Enumerating Bent Functions / Q. Meng [et al.] // Discrete Mathematics. 2008. Vol. 308, Iss. 23. P. 5576–5584.

8. Agievich, S. V. On the Representation of Bent Functions by Bent Rectangles / S. V. Agievich // Probabilistic Methods in Discrete Mathematics: Proceedings of the Fifth International Petrozavodsk Conference (Petrozavodsk, June 1–6, 2000). Utrecht, Boston: VSP, 2002. P. 121–135.

9. Соколов, А. В. Алгоритм устранения спектральной эквивалентности компонентных булевых функций S-блоков конструкции Ниберг / А. В. Соколов, Н. А. Барабанов // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. 2015. T. 58, № 5. С. 41–49.

10. Мазурков, М. И. Быстрые ортогональные преобразования на основе бент-последовательностей / М. И. Мазурков, А. В. Соколов // Інформатика та математичні методи в моделюванні. 2014. № 1. С. 5–13.

11. Соколов, А. В. Новые методы синтеза нелинейных преобразований современных шифров / А. В. Соколов. Германия: Lap Lambert Academic Publishing, 2015. 100 с.

12. Соколов, А. В. Конструктивный метод синтеза нелинейных S-блоков подстановки, соответствующих строгому лавинному критерию / А. В. Соколов // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. 2013. T. 56, № 8. С. 43–52.