satНАУКА и ТЕХНИКАScience & Technique2227-10312414-0392Belarusian National Technical University10.21122/2227-1031-2016-15-4-345-352sat-940Research ArticleЭЛЕКТРОННЫЕ СИСТЕМЫELEСТRONIC SYSTEMSРЕГУЛЯРНЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА БАЗОВЫХ БЕНТ-КВАДРАТОВ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКАREGULAR METHOD FOR SYNTHESIS OF BASIC BENT-SQUARES OF RANDOM ORDERСоколовА. В.SokolovA. V.

Кандидат технических наук

Адрес для переписки: Соколов Артем Викторович – Одесский национальный политехнический университет, пр. Шевченко, 1,65044, г. Одесса, Украина Тел.: +38 048 734-85-21  radiosquid@gmail.com

Address for correspondence: Sokolov Artiom V. – Odessa, National Polytechnic University, 1 Shevchenko Ave., 65044, г. Odessa, Ukraine Tel.: +38 048 734-85-21  radiosquid@gmail.com

radiosquid@gmail.comОдесский национальный политехнический университет, ОдессаУкраинаOdessa National Polytechnic University, OdessaUkraine201622082016154345352Copyright © Соколов А.В., 20162016Соколов А.В.Sokolov A.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://sat.bntu.by/jour/article/view/940

Рассматриваются вопросы конструирования классов максимально нелинейных булевых бент-функций произвольной длины N = 2k (k = 2, 4, 6, …) на основе их спектрального представления – бент-квадратов Агиевича. Данные совершенные алгебраические конструкции являются основой для построения многих криптографических примитивов, таких как генераторы псевдослучайных ключевых последовательностей, криптографические S-блоки подстановки и т. д. Бент-функции находят свое применение для построения C-кодов в системах с кодовым разделением каналов, которые обладают минимально возможным значением пик-фактора k = 1, а также для построения систем ортогональных бифазных сигналов и помехоустойчивых кодов. Все многочисленные применения бент-функций связаны с теорией их синтеза. Однако регулярные методы синтеза полных классов бент-функций произвольной длины N = 2k в настоящее время неизвестны. В статье предложен регулярный метод синтеза базовых бент-квадратов Агиевича произвольного порядка n на основе регулярного оператора диадного сдвига. Выполнена классификация полного множества спектральных векторов длин (l = 8, 16, …) на основе критерия максимального абсолютного значения и набора абсолютных значений спектральных компонент. Показано, что любой спектральный вектор может быть основой для построения бент-квадрата. Обобщены результаты синтеза бент-квадратов Агиевича порядка n = 8, показано, что существуют только три базовых бент-квадрата для данного порядка, тогда как еще пять могут быть получены с помощью операции ступенчато циклического сдвига. Синтезированы все базовые бент-квадраты порядкаn = 16, позволяющие построение бент-функций длиной N = 256. Полученные базовые бент-квадраты могут служить как для непосредственного синтеза бент-функций и их практического использования, так и для проведения дальнейших исследований с целью синтеза новых структур бент-квадратов для порядков n = 16, 32, 64, …

The paper is devoted to the class construction of the most non-linear Boolean bent-functions of any length N = 2k (k = 2, 4, 6…), on the basis of their spectral representation – Agievich bent squares. These perfect algebraic constructions are used as a basis to build many new cryptographic primitives, such as generators of pseudo-random key sequences, crypto graphic S-boxes, etc. Bent-functions also find their application in the construction of C-codes in the systems with code division multiple access (CDMA) to provide the lowest possible value of Peak-to-Average Power Ratio (PAPR) k = 1, as well as for the construction of error-correcting codes and systems of orthogonal biphasic signals. All the numerous applications of bent-functions relate to the theory of their synthesis. However, regular methods for complete class synthesis of bent-functions of any length N = 2k are currently unknown. The paper proposes a regular synthesis method for the basic Agievich bent squares of any order n, based on a regular operator of dyadic shift. Classification for a complete set of spectral vectors of lengths (l = 8, 16, …) based on a criterion of the maximum absolute value and set of absolute values of spectral components has been carried out in the paper. It has been shown that any spectral vector can be a basis for building bent squares. Results of the synthesis for the Agievich bent squares of order n = 8 have been generalized and it has been revealed that there are only 3 basic bent squares for this order, while the other 5 can be obtained with help the operation of step-cyclic shift. All the basic bent squares of order n = 16 have been synthesized that allows to construct the bent-functions of length N = 256. The obtained basic bent squares can be used either for direct synthesis of bent-functions and their practical application or for further research in order to synthesize new structures of bent squares of orders n = 16, 32, 64, …

бент-функциябент-квадратпреобразование Уолша – Адамараспектральный векторbent-functionbent-squareWalsh – Hadamard transformspectral vectorReferencesТокарева, Н. Н. Бент-функции: результаты и приложения: обзор работ / Н. Н. Токарева // Прикладная дискретная математика. 2009. № 1 (3). С. 15–37.Tokareva N. N. (2009) Bent-Functions: Results and Applications. Review of Papers. Prikladnaia Diskretnaia Matematika[Applied Discrete Mathematics], 3 (1), 15–37 (in Russian).Мазурков, М. И. Генератор ключевых последовательностей на основе дуальных пар бент-функций / М. И. Мазурков, Н. А. Барабанов, А. В. Соколов // Труды Одесского политехнического университета. 2013. № 3 (42). С. 150–156.Mazurkov M. I., Barabanov N. A., Sokolov A. V. (2013) Generator of Key Length on the Basis of Bent-Function Dual Pairs.Prats? Odes. Pol?tekhn. Un-tu [Proceedings of Odessa Polytechnical University], 42 (3), 150–156 (in Russian).Соколов, А. В. Быстродействующий генератор ключевых последовательностей на основе клеточных автоматов / А. В. Соколов // Праці Одес. політехн. ун-ту. 2014. № 1 (43). С. 180–186.Sokolov A. V. (2014) Fast-Acting Generator of Key Length on the Basis of Cellular Automaton. Prats? Odes. Pol?tekhn. Un-tu[Proceedings of Odessa National Polytechnical University], 43 (1), 180–186 (in Russian).Paterson, K. G. Sequences for OFDM and Multi-Code CDMA: Two Problems in Algebraic Coding Theory // Sequences and their Applications. Seta 2001. Second Int. Conference (Bergen, Norway, May 13–17, 2001). Proc. Berlin: Springer, 2002. P. 46–71.Paterson K. G. (2002) Sequences for OFDM and MultiCode CDMA: Two Problems in Algebraic Coding Theory. Proc. SETA 2001 (Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science Series). Berlin, Springer, 46–71.Rothaus, O. S. On “Bent” Functions / O. S. Rothaus // Journal of Combinatorial Theory, Series A. 1976. Vol. 20 No 3. P. 300–305.Rothaus O. S. (1976) On “Bent” Functions. Journal of Combinatorial Theory, Series A. 20 (3), 300–305 DOI: 10.1016/ 0097-3165(76)90024-8Мазурков, М. И. Регулярные прaвила построения полного класса бент-последовательностей длины 16 / М. И. Мазурков, А. В. Соколов // Праці Одес. політехн. ун-ту. 2013. № 2 (41). С. 231–237.Mazurkov M. I., Sokolov A. V. (2013) Regular Rules for Development of Complete Class of Bent-Sequential Length 16. Prats? Odes. Pol?tekhn. Un-tu [Proceedings of Odessa Polytechnical University], 41 (2), 231–237 (in Russian).Meng, Qingshu. A Novel Algorithm Enumerating Bent Functions / Q. Meng [et al.] // Discrete Mathematics. 2008. Vol. 308, Iss. 23. P. 5576–5584.Qingshu Menga, Min Yangb, Huanguo Zhanga, Jingsong Cuia (2008) A Novel Algorithm Enumerating Bent Functions. Discrete Mathematics, 308 (23), 5576–5584 DOI: 10.1016/j.disc.2007.10.024.Agievich, S. V. On the Representation of Bent Functions by Bent Rectangles / S. V. Agievich // Probabilistic Methods in Discrete Mathematics: Proceedings of the Fifth International Petrozavodsk Conference (Petrozavodsk, June 1–6, 2000). Utrecht, Boston: VSP, 2002. P. 121–135.Agievich S. V. (2002) On the Representation of Bent Functions by Bent Rectangles. Probabilistic Methods in Discrete Mathematics: Proceedings of the Fifth International Petrozavodsk Conference (Petrozavodsk, June 1–6, 2000). Boston: VSP, 121–135.Соколов, А. В. Алгоритм устранения спектральной эквивалентности компонентных булевых функций S-блоков конструкции Ниберг / А. В. Соколов, Н. А. Барабанов // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. 2015. T. 58, № 5. С. 41–49.Sokolov A. V., Barabanov N. A. (2015) Algorithm for Removing the Spectral Equivalence of Component Boolean functions of Nyberg-Design S-Boxes. Radioelectronics and Communications Systems, 58 (5), 220–227. DOI: 10. 3103/S0735272715050040.Мазурков, М. И. Быстрые ортогональные преобразования на основе бент-последовательностей / М. И. Мазурков, А. В. Соколов // Інформатика та математичні методи в моделюванні. 2014. № 1. С. 5–13.Mazurkov M. I., Sokolov A. V. (2014) Fast Orthogonal Transformations on the Basis of Bent Sequences. ?nformatika ta Matematichn? Metodi v Modeliuvann? [Informatics and Mathematical Methods in Simulation], (1), 5–13 (in Russian).Соколов, А. В. Новые методы синтеза нелинейных преобразований современных шифров / А. В. Соколов. Германия: Lap Lambert Academic Publishing, 2015. 100 с.Sokolov A. V. (2015) New Methods for Synthesis of NonLinear Transformations in Modern Codes. Germany, Lap Lambert Academic Publishing. 100.Соколов, А. В. Конструктивный метод синтеза нелинейных S-блоков подстановки, соответствующих строгому лавинному критерию / А. В. Соколов // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. 2013. T. 56, № 8. С. 43–52.Sokolov A. V. (2013) Constructive Method for the Synthesis of Nonlinear S-Boxes Satisfying the Strict Avalanche Criterion.Radioelectronics and Communications Systems, 56 (8), 415–423. DOI: 10.3103/S0735272 713080049.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.