Приближенное представление дилогарифмами решения одной вариационной краевой задачи для круга при граничном условии Неймана

Известно, что краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона эквивалентны задаче вариационного исчисления – о минимуме интеграла, для которого данное уравнение в частных производных является уравнением Эйлера – Лагранжа. Например, задача о минимуме интеграла Дирихле в единичном круге с центром в начале координат на некотором допустимом множестве функций при заданных значениях нормальной производной на окружности эквивалентна краевой задаче Неймана для уравнения Лапласа в этой области. На основе известного точного решения краевой задачи Неймана для круга с помощью специальной приближенной формулы для интеграла Дини сконструировано эффективное приближенное представление дилогарифмами решения указанной выше эквивалентной вариационной краевой задачи. Приближенная формула эффективна в том смысле, что она достаточно проста при численной реализации, устойчива, а равномерная по кругу оценка погрешности позволяет проводить вычисления с заданной точностью. Специальная квадратурная формула для интеграла Дини обладает замечательным свойством – ее коэффициенты неотрицательны. Квадратурные формулы с неотрицательными коэффициентами занимают особое место в теории приближенных вычислений определенных интегралов и ее приложениях. Естественно, что еще большую значимость это свойство приобретает, когда коэффициенты не числа, а некоторые функции. Проведенный численный анализ приближенного решения подтверждает его эффективность.

1. Канторович, Л. В. Приближенные методы высшего анализа / Л. В. Канторович, В. И. Крылов. М.-Л.: Физматгиз, 1962. 708 с.

2. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. М.: Наука, 1973. 736 с.

3. Смирнов, В. И. Курс высшей математики: в 5 т. / В. И. Смирнов. М.: Наука, 1974. Т. 4. 336 с.

4. Беляев, Н. М. Методы теории теплопроводности: в 2 ч. / Н. М. Беляев, А. А. Рядно. М.: Высш. шк., 1982. Ч. 1. 327 с.

5. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. М.: Наука, 1967. 294 с.

6. Пыхтеев, Г. Н. Полилогарифмы, их свойства и методы вычисления / Г. Н. Пыхтеев, И. Н. Мелешко. Минск: Изд-во БГУ, 1976. 68 с.

7. Крылов, В. И. Приближенное вычисление интегралов / В. И. Крылов. М.: Наука, 1967. 500 с.

8. Мысовских, И. П. Интерполяционные кубатурные формулы / И. П. Мысовских. М.: Наука, 1981. 336 с.

9. Мелешко, И. Н. Квадратурные формулы с неотрицательными коэффициентами для сингулярных интегралов Коши / И. Н. Мелешко // Весцi АН БССР. Сер. фiз.-мат. навук. 1989. № 3. С. 27–34.

10. Мелешко, И. Н. Специальные формулы для интегралов типа Коши и их приложения / И. Н. Мелешко. Минск: ВУЗ-ЮНИТИ, 1999. 197 с.