Доктор физико-математических наук, профессор
Адрес для переписки: Мелешко Иван Николаевич – Белорусский национальный технический университет, ул. Б. Хмельницкого, 9, 220013, г. Минск, Республика Беларусь. Тел.: +375 17 292-82-73 kafvm2@bntu.by
Address for correspondence: Meleshko Ivan N. – Belаrusian National Technical University, 9, B. Khmelnithskogo str.,220013, Minsk, Republic of Belarus. Tel.: +375 17 292-82-73 kafvm2@bntu.by
Кандидат физико-математических наук, доцент
г. Минск
Minsk
Известно, что краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона эквивалентны задаче вариационного исчисления – о минимуме интеграла, для которого данное уравнение в частных производных является уравнением Эйлера – Лагранжа. Например, задача о минимуме интеграла Дирихле в единичном круге с центром в начале координат на некотором допустимом множестве функций при заданных значениях нормальной производной на окружности эквивалентна краевой задаче Неймана для уравнения Лапласа в этой области. На основе известного точного решения краевой задачи Неймана для круга с помощью специальной приближенной формулы для интеграла Дини сконструировано эффективное приближенное представление дилогарифмами решения указанной выше эквивалентной вариационной краевой задачи. Приближенная формула эффективна в том смысле, что она достаточно проста при численной реализации, устойчива, а равномерная по кругу оценка погрешности позволяет проводить вычисления с заданной точностью. Специальная квадратурная формула для интеграла Дини обладает замечательным свойством – ее коэффициенты неотрицательны. Квадратурные формулы с неотрицательными коэффициентами занимают особое место в теории приближенных вычислений определенных интегралов и ее приложениях. Естественно, что еще большую значимость это свойство приобретает, когда коэффициенты не числа, а некоторые функции. Проведенный численный анализ приближенного решения подтверждает его эффективность.
It is known that boundary value problems for the Laplace and Poisson equations are equivalent to the problem of the calculus of variations – the minimum of an integral for which the given partial differential equation is the Euler – Lagrange equation. For example, the problem of the minimum of the Dirichlet integral in the unit disc centered at the origin on some admissible set of functions for given values of the normal derivative on the circle is equivalent to the Neimann boundary value problem for the Laplace equation in this domain. An effective approximate dilogarithm representation of the solution of the above equivalent variational boundary value problem is constructed on the basis of the known exact solution of the Neumann Boundary value problem for a circle using a special approximate formula for the Dini integral. The approximate formula is effective in the sense that it is quite simple in numerical implementation, stable, and the error estimation, which is uniform over a circle, allows calculations with the given accuracy. A special quadrature formula for the Dini integral has a remarkable property – its coefficients are non-negative. Quadrature formulas with non-negative coefficients occupy a special place in the theory of approximate calculations of definite integrals and its applications. Naturally, this property becomes even more significant when the coefficient are not number, but some functions. The performed numerical analysis of the approximate solution confirms its effectiveness.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.