РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С ПОМОЩЬЮ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ

Предлагается новый метод приближенного решения одного вида сингулярных интегральных уравнений теории упругости, которые рассматривались ранее другими авторами. Приближенное решение отыскивается в виде асимптотического многочлена невысокой степени (первое приближение), основанного на полиномах Чебышева второго рода. Другие авторы получали решение методом механических квадратур (только в отдельных точках) и хотя использовали также полиномы Чебышева второго рода, однако применяли другую систему узлов, на которых строили нужные формулы. 

Предлагаемый метод позволяет не только найти приближенное решение для всего промежутка в виде многочлена, но и  вслед за приближенным решением получить остаточный член в виде разложения в бесконечный ряд, коэффициентами которого являются линейные функционалы заданного интегрального уравнения, а базисными функциями – полиномы Чебышева второго рода. Такое представление остаточного члена первого приближения позволяет найти слагаемое бесконечного ряда, начиная с которого будет выполняться заданная точность искомого решения. Этот номер является степенью асимптотического многочлена (второе приближение), который и будет с заданной точностью давать приближение к точному решению. Рассматриваемые многочлены асимптотически стремятся к полиному наилучшего равномерного приближения в пространстве С, построенному для данного оператора. 

Показана сходимость приближенного решения к точному и  дана оценка погрешности. Предлагаемый алгоритм получения приближенного решения и оценки погрешности хорошо реализуется с помощью вычислительной техники и не требует большой предварительной подготовки при составлении программы.

сингулярное интегральное уравнение, теория упругости, асимптотический многочлен

1. Каландия, А. И. Математические методы теории упругости / А. И. Каландия. - М. : Наука, 1973. - 303 с.

2. Хубежды, Ш. С. О квадратурных формулах для сингулярных интегралов с весовыми функциями / Ш. С. Хубежды, Л. Ю. Плиева, З. В. Бесаева // Владикавказский математический журнал. - 2011. - Вып. 2, т. 13. - С. 56-62.

3. Грибкова, В. П. Равномерные приближения, основанные на полиномах Чебышева / В. П. Грибкова, С. М. Козлов // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-24 : сб. трудов XXIV Междунар. науч. конф. : в 10 т. - Пенза, 2011. - Т. 1. - С. 31-36.

4. Габдулхаев, Б. Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач / Б. Г. Габдулхаев. - Казань : КГУ, 1980. - 232 с.

5. Натансон И. П. Конструктивная теория функций / И. П. Натансон. - М.; Л. : ГТТЛ, 1949. - 688 с.

6. Грибкова, В. П. Эффективные методы равномерных приближений, основанные на полиномах Чебышева / В. П. Грибкова. - М. : Спутник, 2013. - 209 с.

7. Грибкова, В. П. Приближенное решение дифференциальных уравнений с помощью асимптотических полиномов / В. П. Грибкова, С. М. Козлов // Дифференциальные уравнения. - 2012. - Т. 48, № 2. - С. 264-274.

8. Грибкова В. П. Решение сингулярного интегро-дифференциального уравнения с помощью асимптотических многочленов / В. П. Грибкова, С. М. Козлов // Дифференциальные уравнения. - 2013. - Т. 49, № 9. - С. 1150-1159.

9. Грибкова, В. П. Решение одного сингулярного интегрального уравнения с помощью асимптотических полиномов / В. П. Грибкова, С. М. Козлов // XI Белорусская математическая конференция : тез. докл. Междунар. науч. конф. Минск, 5-9 ноября 2012 г. - Минск, 2012. - Ч. 3. - С. 7-8.

10. Грибкова, В. П. Приближенное решение одного уравнения теории крыла методом асимптотических многочленов / В. П. Грибкова, С. М. Козлов // Наука и техника. - 2012. - № 5. - С. 78-86.