Контактная задача для прямоугольного штампа на упругом октанте

В представленной статье рассмотрена контактная задача для прямоугольного штампа, расположенного на упругом однородном изотропном октанте и нагруженного вертикальной нагрузкой. На контакте штампа и октанта не учитываются касательные напряжения. Вначале выводится выражение для вертикальных перемещений границы октанта от сосредоточенной вертикальной силы как суперпозиция решений для двух симметрично нагруженных четверть пространств и полупространства. При этом учитывается влияние коэффициента Пуассона при определении перемещений. Далее расчет штампа выполняется способом Б. Н. Жемочкина. Для этого контактная поверхность штампа разбивается на одинаковые прямоугольные участки и в центре каждого участка ставятся жесткие стержни, через которые осуществляется контакт штампа с упругим октантом. Данная статически неопределимая система решается смешанным методом строительной механики, где неизвестными являются усилия в жестких стержнях, линейное и угловые перемещения введенного в центре штампа защемления. Коэффициенты при неизвестных усилиях определяются интегрированием полученного выражения для перемещений по площади прямоугольного участка, причем первое слагаемое, представляющее решение Буссинеска и содержащее сингулярность, интегрируется точно, остальные, представляющие непрерывные гладкие функции, численно. Приведен пример расчета квадратного штампа, расположенного на вершине октанта, при его поступательном перемещении. Показаны поверхности контактных напряжений и линии равных напряжений. Проведено сопоставление с аналогичной задачей для полупространства по формуле М. И. Горбунова-Посадова. Отмечен ранее неизвестный факт появления растягивающих контактных напряжений под штампом в окрестности вершины октанта.

1. Босаков, С. В. Действие сосредоточенной силы на 1/8 однородного изотропного пространства / С. В. Босаков, П. Д. Скачёк // Наука и техника. 2020. Т. 19, № 5. С. 372–376. https://doi.org/10.21122/2227-1031-2020-19-5-372-376.

2. Heteny, M. A General Solution for the Elastic QuarterSpace / M. Heteny // Journal of Applied Mechanics. 1970. Vol. 37, No 1. P. 70–76. https://doi.org/10.1115/1.3408492.

3. Уфлянд, Я. С. Некоторые пространственные задачи теории упругости для клина / Я. С. Уфлянд // Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. М.: Наука, 1972. С. 549–553.

4. Босаков, С. В. Действие сосредоточенной силы на упругое четверть пространство / С. В. Босаков // Теоретическая и прикладная механика. Минск: Вышэйш. шк., 1988. Вып. 15. С. 100–108.

5. Ефимов, А. Б. Сосредоточенные воздействия на упругий несжимаемый клин / А. Б. Ефимов, Д. Г. Ефимов // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1986. № 6. С. 89–92.

6. Пожарский, Д. А. Фундаментальные решения статики упругого клина и их приложения / Д. А. Пожарский. Ростов н/Д.: ДГТУ-ПРИНТ, 2019. 306 с.

7. Снеддон, Я. Преобразования Фурье / Я. Снеддон. М.: Изд-во иностр. лит., 1955. 667 с.

8. Развитие теории контактных задач в СССР / под ред. Л. А. Галина. М.: Наука, 1976. 493 с.

9. Александров, А. В. Основы теории упругости и пластичности / А. В. Александров, В. Д. Потапов. М.: Высш. шк., 1990. 400 с.

10. Жемочкин, Б. Н. Практические методы расчета фундаментных балок и плит / Б. Н. Жемочкин, А. П. Синицын. М.: Стройиздат, 1962. 239 с.

11. Босаков, С. В. Статические расчеты плит на упругом основании / С. В. Босаков. Минск: БНТУ, 2002. 128 с.

12. Горбунов-Посадов, М. И. Расчет конструкций на упругом основании / М. И. Горбунов-Посадов, Т. А. Маликова, В. И. Соломин. М.: Стройиздат, 1984. 679 с.