Функция Грина для упругой полуполосы

В представленной работе аналитически определяются вертикальные перемещения верхней грани упругой полуполосы с нижней шарнирно опертой гранью от действия вертикальной сосредоточенной силы, приложенной к верхней грани. При этом используется метод специальной аппроксимации, ранее эффектно применяемый в работах И. Снеддона и позднее В. М. Александрова. На нижней грани полуполосы принимаются равными нулю вертикальные перемещения и касательные напряжения. Искомое выражение для перемещений складывается из перемещений бесконечной полосы от действия двух симметрично приложенных вертикальных сил и самоуравновешенной нормальной горизонтальной нагрузки, приложенной к торцу полуполосы и равной нормальным горизонтальным напряжениям от действия двух симметрично приложенным силам к бесконечной полосе с обратным знаком. Перемещения от самоуравновешенной нагрузки по методу Ритца представляются в виде двойного ряда по классическим ортогональным функциям – полиномам Эрмита с весом и Лежандра с неопределенными коэффициентами, которые определяются из условия минимума функционала полной энергии деформаций полуполосы и работы торцевой самоуравновешенной горизонтальной нагрузки. Полученное выражение для перемещений содержит элементарные функции, имеет логарифмическую особенность в точке приложения силы и убывает на бесконечности. Приводятся графики вертикальных перемещений верхней грани полуполосы при различных положениях внешней вертикальной силы. Также графически показана точность принятой специальной аппроксимации. Полученные результаты могут найти применение при решении различных контактных задач для упругой полуполосы, нагруженной по верхней грани.

1. Ворович, И. И. Некоторые задачи теории упругости для полуполосы / И. И. Ворович, В. В. Копасенко // Прикладная математика и механика. 1966. Т. 30, вып. 1. С. 109–115.

2. Нуллер, В. М. Об одной контактной задаче для упругой полуполосы / В. М. Нуллер // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 1973. № 5. С. 143–148.

3. Гомилко, А. М. Метод однородных решений в смешанной задаче для полуполосы / А. М. Гомилко, В. Т. Гринченко, В. В. Мелешко // Прикладная механика. 1990. Т. 26, № 2. С. 98–108.

4. Босаков, С. В. Контактная задача для упругой полуполосы / С. В. Босаков // Весцi нац. акад. навук Беларусi.Сер. фiз.-тэхн. навук. 1997, № 4. С. 119–121.

5. Босаков, С. В. К решению контактной задачи для упругой полуполосы / С. В. Босаков // Наука и техника. 2021. Т. 20, № 5. С. 405–409. https://doi.org/10.21122/2227-1031-2021-20-5-405-409.

6. Уфлянд, Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости / Я. С. Уфлянд. М.–Л.: Наука, 1967. 402 с.

7. Развитие теории контактных задач в СССР / под ред. Л. А. Галина. М.: Наука, 1976. 493 с.

8. Александров, А. В. Основы теории упругости и пластичности / А. В. Александров, В. Д. Потапов. М.: Высш. шк., 1990. 400 с.

9. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.

10. Снеддон, И. Преобразования Фурье / И. Снеддон. М.: Изд-во иностран. лит., 1955. 667 с.

11. Двайт, Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г. Б. Двайт. М.: Наука, 1969. 228 с.