Применение балочных функций для статического расчета изгибаемых стержней и прямоугольных плит

В представленной работе прогибы стержня и прямоугольной плиты с любыми типами граничных условий предлагается представлять в виде ряда и двойного ряда по собственным функциям дифференциального уравнения изгибных колебаний балки или плиты с соответствующими граничными условиями. Далее по методу Ритца определяется функционал полной энергии изгиба стержня и изгиба и кручения плиты и действующей на них внешней нагрузки. Для стержня с любыми типами граничных условий дифференцированием функционала полной энергии получено точное решение для прогибов в виде быстро сходящего ряда. При этом использованы ранее опубликованные результаты С. П. Тимошенко и Е. С. Сорокина. Для прямоугольной плиты, используя свойство ортогональности собственных функций и их вторых производных, вычисляется квадратичный функционал от неопределенных коэффициентов при собственных функциях. Дифференцированием функционала по каждому из неизвестных коэффициентов образуется бесконечная система линейных алгебраических уравнений, решение которой способом усечения, позволяет найти прогибы плиты. Далее известными методами теории изгибаемых пластинок находятся усилия в плите. Приведены два примера расчета прямоугольной плиты с четырьмя опертыми гранями и плиты с двумя опертыми гранями. Предлагаемый подход прост, универсален и позволяет рассчитывать прямоугольные плиты с любыми типами граничных условий на контуре на произвольную внешнюю нагрузку. В статье приведена таблица собственных чисел и форм для расчета прямоугольных плит.

1. Тимошенко, С. П. Колебания в инженерном деле / С. П. Тимошенко. М.: Физматгиз, 1959. 439 с.

2. Фаддеева, В. Н. О фундаментальных функциях оператора XIV / В. Н. Фаддеева // Труды Математического института АН СССР. 1949. Т. 28. С. 157–159.

3. Сорокин, Е. С. Динамика междуэтажных перекрытий / Е. С. Сорокин. М.–Л.: Стройиздат, Наркомстрой, 1941. 240 с.

4. Бабаков, И. М. Теория колебаний / И. М. Бабаков. М.: Наука, 1965. 559 с.

5. Галеркин, Б. Г. Упругие тонкие плиты / Б. Г. Галеркин. М.: Госстройиздат, 1933. 371 с.

6. Wu, J. H. Exact Solutions for Free-Vibration Analysis of Rectangular Plates Using Bessel Functions / Jiu Hui Wu, A. Q. Liu, H. L. Chen // Journal of Applied Mechanics. 2007. Vol. 74. P. 1247–1251. https://doi.org/10.1115/1. 2744043.

7. Александров, А. В. Основы теории упругости и пластичности / А. В. Александров, В. Д. Потапов. М.: Высш. шк., 1990. 400 с.

8. Михлин, С. Г. Прямые методы в математической физике / С. Г. Михлин. М.–Л.: Гостехтеориздат, 1950. 429 с.

9. Канторович, Л. В. Приближенные методы высшего анализа / Л. В. Канторович, В. И. Крылов. М.–Л.: Физматгиз, 1962. 701 c.

10. Кончковский, З. Плиты: статические расчеты / З. Кончковский. М.: Стройиздат, 1980. 480 с.