Вариационная задача о колебаниях неравнотолщинных колец и ее применение для расчета концентраторов ультразвуковых колебаний

Рассмотрена методика расчета собственных частот колебаний неравнотолщинных колец, основанная на использовании вариационного принципа Гамильтона и теорий колебаний криволинейных балок типа Эйлера – Бернулли и Тимошенко. Решения задачи представляются в виде рядов Фурье, что позволяет свести ее к решению системы линейных алгебраических уравнений. Задача определения собственных частот сводится при этом к обобщенной задаче на собственные значения матриц. На основе сравнения численных результатов, полученных для эксцентричного кольца, с результатами расчетов методом конечных элементов показаны преимущества использования теории Тимошенко, включающие в себя повышение точности вычислений и возможность идентификации радиальных и радиально-изгибных собственных форм. Исследована возможность снижения вычислительных затрат при использовании теории Тимошенко за счет представления определителя описывающей задачу блочной матрицы в виде произведения определителей более низких порядков. Показано, что соотношения, полученные на основе теории Эйлера – Бернулли, в частном случае равнотолщинного кольца приводят к известным аналитическим формулам для собственных частот колебаний кольца. Полученные результаты могут быть использованы для расчета кольцевых концентраторов ультразвуковых колебаний. Преимущество предлагаемого метода по сравнению с другими известными подходами, например методом гармонического баланса, состоит в отсутствии необходимости работы с дифференциальными или интегро-дифференциальными уравнениями колебаний, которые в случае неравнотолщинных колец имеют достаточно сложную структуру и требуют для своего решения применения вычислительно-затратных операций, например дискретной свертки.

1. Асташев, В. К. Нелинейная динамика ультразвуковых технологических процессов / В. К. Асташев, В. Л. Крупенин. М.: МГУП имени Ивана Федорова, 2016. 372 с.

2. Исследование характеристик составных кольцевых концентраторов ультразвуковых колебаний с помощью метода передаточных матриц [Электронный ресурс] / Д. А. Степаненко [и др.] // Техническая акустика. 2018. № 2. Режим доступа: https://ejta.org/ru/stepanenko2.

3. Луговой, В. П. Определение размерных параметров кольцевого концентратора ультразвуковой системы / В. П. Луговой, И. В. Луговой // Наука и техника. 2018. Т. 17. № 1. С. 51–55. https://doi.org/10.21122/2227-1031-2018-17-1-51-55.

4. Степаненко, Д. А. Применение метода входного импеданса для расчета колебательных систем ультразвуковых технологических установок / Д. А. Степаненко // Машиностроение и техносфера XXI века: труды 14-й Междунар. науч.-техн. конф., г. Севастополь. Донецк, 2007. Т. 4. С. 5–8.

5. He, T. Optimization Design for Ultrasonic Horn with Large Amplitude Based on Genetic Algorithm / T. He, X.-Q. Ye, Y. Zhao // Journal of Vibroengineering. 2015. Vol. 17. P. 1157–1168.

6. Степаненко, Д. А. Расчет и проектирование стержневых ультразвуковых концентраторов с помощью метода гармонического баланса [Электронный ресурс] / Д. А. Степаненко, В. И. Жуков, А. С. Роговцова // Техническая акустика. 2019. № 3. Режим доступа: https:// ejta.org/ru/stepanenko3.

7. Hull, A. J. A Modal Solution For Finite Length Rods with Non-Uniform Area / A. J. Hull // Applied Sciences. 2018. Vol. 8. Article 94. https://doi.org/10.3390/app8010094.

8. Xu, D. An Accurate and Efficient Series Solution for the Longitudinal Vibration of Elastically Restrained Rods with arbitrarily Variable Cross Sections / D. Xu, J. Du, Z. Liu // Journal of Low Frequency Noise, Vibration and Active Control. 2019. Vol. 38, No 2. P. 403–414. https://doi.org/10.1177/1461348419825913.

9. A unified Fourier Series Solution for Vibration Analysis of FG-CNTRC Cylindrical, Conical Shells and Annular Plates with Arbitrary Boundary Conditions / B. Qin [et al.] // Composite Structures. 2020. Vol. 232. Article 111549. https://doi. org/10.1016/j.compstruct.2019.111549.

10. Lang, T. E. Vibration of thin Circular Rings. Part I: Solution for Modal Characteristics and Forced Excitation: Jet Propulsion Laboratory Technical Report No 32–261 / T. E. Lang. Pasadena, 1962. 21 p.

11. Биргер, И. А. Сопротивление материалов / И. А. Биргер, Р. Р. Мавлютов. М.: Наука, 1986. 560 с.

12. Saadetoǧlu, M. Inverses and Determinants of n×n Block Matrices / M. Saadetoǧlu, S. M. Dinsev // Mathematics. 2023. Vol. 11. Article 3784. https://doi.org/10.3390/math11173784.