Функции Грина для статически неопределимых однопролетных балок

В зависимости от класса в инженерной практике различают решаемые задачи: статические / динамические, плоские / пространственные, контактные / с частичным или краевым опиранием и др. Давление рельса на шпалу, колонны на фундамент, плит перекрытия на стены, фундамента на грунтовое основание – все это типичные примеры практических задач, приводящие к необходимости решения краевых задач – математически и контактных – физически. Из математических постановок контактных задач конструкций, лежащих на упругом основании, известно, что основу их решения составляет поиск закона распределения реактивных давлений на контакте конструкции с основанием, который сложным образом зависит от жесткости конструкции, упругих характеристик основания, внешней нагрузки, характера закрепления конструкции. При решении многих краевых и начально-краевых задачах строительной механики и теории упругости, таких как решение классического однородного уравнения методом собственных функций, при некоторых граничных условиях, вытекающих из рода закрепления балки на концах, важную, порой определяющую, роль играют фундаментальные функции оператора x^IV, которые получили свою базовую трактовку академиком А. Н. Крыловым. Однако вычисления по этим формулам весьма затруднительны из-за математических ограничений и громоздкости выражений. В связи с этим в предлагаемой работе использованы собственные функции дифференциального уравнения изгибных колебаний статически неопределимых однопролетных балок для построения функции Грина в виде бесконечного ряда по этим собственным функциям. Построены точные выражения для определения прогибов балок от сосредоточенной силы. Полученные выражения представлены через элементарные функции, носят общий характер и дают возможность решать разнообразные задачи статики, динамики и устойчивости рассматриваемых балок. Авторами получены численные результаты для изгибающих моментов и прогибов защемленной балки и балки с защемленной и шарнирной опорами с использованием компьютерного пакета MATHEMATICA.

1. Ржаницын, А. Р. Строительная механика: учеб. пособие для строит. спец. вузов / А. Р. Ржаницын. 2-е изд., перераб. М.: Высш. шк., 1991. 439 с.

2. Босаков, С. В. Метод Ритца в контактных задачах теории упругости / С. В. Босаков. Брест: Изд.-во БрГТУ, 2006. 108 с.

3. Развитие теории контактных задач в СССР / Академия наук СССР, Ин-т проблем механики; отв. ред. Л. А. Галин. М.: Наука, 1976. 496 с.

4. Александров, А. В. Основы теории упругости и пластичности: учеб. для строит. спец. вузов / А. В. Александров, В. Д. Потапов. 2-е изд., испр. М.: Высш. шк., 2002. 400 с.

5. Клубин, П. И. Расчет балочных и круглых плит на упругом основании / П. И. Клубин // Инж. сб. 1952. № 12. С. 95–135.

6. Босаков, С. В. Статические расчеты плит на упругом основании / С. В. Босаков. Минск: БНТУ, 2002. 128 с.

7. Попов, Г. Я. К теории изгиба плит на упругом неоднородном полупространстве / Г. Я. Попов // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1959. № 11–12. С. 11–19.

8. Крылов, А. Н. О расчете балок, лежащих на упругом основании / А. Н. Крылов. М.: Машстройиздат, 1948. 56 с.

9. Фаддеева, В. Н. О фундаментальных функциях оператора XIV/ В. Н. Фаддеева // Труды математического института АН СССР имени В. А. Стеклова. М., Л.: Изд-во Академии наук СССР, 1949. Т. 28: Сб. работ по приближенному анализу Ленинградского отделения института. С. 157–159.

10. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г. М. Фихтенгольц. 10-е изд., перераб. М.: Физматлит, 2016. Т. II. 800 с.

11. Толстов, Г. П. Ряды Фурье / Г. П. Толстов. 3-е изд. М.: Наука, 1980. 384 с.

12. Тимошенко, С. П. Колебания в инженерном деле / С. П. Тимошенко, Д. Х. Янг, У. Уивер / пер. с англ. Л. Г. Корнейчука; под ред. Э. И. Григолюка. М.: Машиностроение, 1985. 472 с.

13. Смирнов, А. Ф. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений: учеб. для вузов / А. Ф. Смир-нов, А. В. Александров, Б. Я. Лащеников, Н. Н. Шапошников / под ред. А. Ф. Смирнова. М.: Стройиздат,1984. 416 с.

14. Тимошенко, С. П. Сопротивление материалов. Более сложные вопросы теории и задачи / С. П. Тимошенко; пер. В. Н. Федорова с 3-го американ. изд.; под ред. И. К. Снитко. М.: Наука, 1965. Т. 2. 480 с.