Приближенное решение с помощью элементарных функций смешанной задачи с краевыми условиями второго рода для одномерного волнового уравнения

В статье рассматривается смешанная задача с краевыми условиями второго рода для одномерного волнового уравнения. Решение этой задачи записывается в интегральной форме с помощью функции Грина. Для практического использования это решение малопригодно, так как, во-первых, функция Грина представляет собой тригонометрический ряд и, следовательно, ее вычисление представляет определенные трудности, во-вторых, приходится приближенно вычислять пять интегралов с функцией Грина, входящих в решение задачи, и, в-третьих, крайне затруднительно оценить погрешность приближенного вычисления решения. В настоящей работе преодолены эти трудности, а именно, для функции Грина найдено простое выражение через периодическую кусочно-линейную функцию, интегралы, входящие в приближенное решение, вычисляются с помощью периодических кусочно-линейной, кусочно-квадратичной и кусочно-кубической функций, и, наконец, получена простая и эффективная оценка погрешности аппрок­симации. Оценка погрешности линейна по шагам сеток задачи и в любой фиксированный момент времени равномерна по пространственной переменной. Таким образом, приближенное решение задачи со сколь угодно малой погрешностью эффективно выражается через элементарные функции. Приведен пример решения задачи предложенным методом, а также построены графики точного и приближенного решений.

1. Кошляков, Н. С. Дифференциальные уравнения математической физики / Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. М.: ГИФМЛ, 1962. 767 с.

2. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики: учеб. / В. С. Владимиров, В. В. Жаринов. М.: Физматлит, 2000. 400 с.

3. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. М.: Наука, 2004. 798 с.

4. Мышкис, А. Д. Лекции по высшей математике / А. Д. Мышкис. СПб.: Лань, 2007. 688 с.

5. Остапенко, В. Телеграфное уравнение. Краевые задачи / В. Остапенко. Саарбрюккен: LAP Lambert Academic Pub, 2012. 272 с.

6. Дубнищев, Ю. Н. Колебания и волны / Ю. Н. Дубнищев. СПб.: Лань, 2011. 384 с.

7. Ласый, П. Г. Приближенное решение одной задачи об электрических колебаниях в проводах с помощью полилогарифмов / П. Г. Ласый, И. Н. Мелешко // Энергетика. Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ. 2017. Т. 60, № 4. С. 334–340. https://doi.org/10.21122/1029-7448-2017-60-4-334-340.

8. Ласый, П. Г. Применение полилогарифмов к приближенному решению неоднородного телеграфного уравнения для линии без искажений / П. Г. Ласый, И. Н. Мелешко // Энергетика. Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ. 2019. Т. 62, № 5. С. 413–421. https://doi.org/10.21122/1029-7448-2019-62-5-413-421.

9. Ласый, П. Г. Приближенное решение смешанной задачи для телеграфного уравнения с однородными краевыми условиями первого рода с помощью специальных функций / П. Г. Ласый, И. Н. Мелешко // Энергетика. Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ. 2021. Т. 64, № 2. С. 152–163. https://doi.org/10.21122/1029-7448-2021-64-2-152-163.

10. Полянин, А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики / А. Д. Полянин. М.: Физматлит, 2001. 576 с.