Применение соотношений теории течения для решения задач установившегося роста трещины

Для представления локальных полей перемещений в задаче об установившемся росте трещины, которую содержит пластина из несжимаемого материала, используется формула интенсивности деформации в виде многочлена второй степени. Рассматривается случай плоской деформации для упругопластического материала. Решение получено методом асимптотических разложений. Численный анализ проводился для первого члена разложения. Целью исследований являлся процесс получения аналитических решений прикладных задач теории пластичности: нахождение компонентов тензоров напряжений и деформаций. В статье представлен вариант метода асимптотических разложений и его применения для задачи о распределении напряженно-деформированного состояния в упругопластическом образце с трещиной. Метод асимптотических разложений имеет некоторые преимущества по сравнению с численным подходом при изучении напряженно-деформированного состояния в окрестности трещины. Он позволяет установить точные количественные соотношения между радиальным компонентом, углом и компонентами тензора напряжений и деформаций. Еще одно достоинство такого метода заключается в возможности составления механических характеристик объекта на стадии его проектирования. Разработана система дифференциальных уравнений, содержащая V₀ и ее производные до третьего порядка. Приведен пример распределения напряжений в окрестности вершины трещины в стальном образце, полученного в компьютерной системе численным методом. Построена диаг-рамма деформирования для стали 40. Результаты исследования могут использоваться при построении полей напряжений и деформаций в окрестности трещины, а также для прогнозирования дальнейшего направления развития трещины.

1. Астафьев, В. И. Распределение напряжений вблизи вершины наклонной трещины в нелинейной механике разрушения / В. И. Астафьев, А. Н. Крутов // Вестник СамГУ. 1999. № 4. С. 56−69.

2. Клюшников, В. Д. Математическая теория пластичности / В. Д. Клюшников. М.: МГУ, 1978. 208 с.

3. Партон, В. З. Механика упругопластического разрушения / В. З. Партон, Е. М. Морозов. М.: Изд-во ЛКИ, 2008. 192 с.

4. Плескачевский, Ю. М. Корректное применение моделей континуума, квазиконтинуума, сетей в наномеханике / Ю. М. Плескачевский, Ю. А. Чигарева // Доклады НАН Беларуси. 2013. Т. 57, № 1. С. 118–122.

5. Starovoitov, E. I. Foundations of the Theory of Elasticity, Plasticity and Viscoelasticity / E. I. Starovoitov, F. B. Nagiyev. Toronto, New Jersey: Apple Academic Press, 2012. 346 p. https://doi.org/10.1201/b13109.

6. Степанова, Л. В. Асимптотические методы нелинейной механики разрушения: результаты, современное состояние и перспективы / Л. В. Степанова, Е. М. Ады-лина // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Физико-математические науки. 2013. № 2. С. 156–168.

7. Черепанов, Г. П. Механика хрупкого разрушения / Г. П. Черепанов. М.: Наука, 1974. 640 с.

8. Чигарев, А. В. Исследование неосесимметричного напряженного состояния при квазистатическом термосиловом нагружении в условиях облучения высокоэнергетическими частицами / А. В. Чигарев, П. И. Ширвель // Наука и техника. 2013. № 4. С. 83–89.

9. Радаев, Ю. Н. Точный анализ распределения напряжений у вершины трещины нормального отрыва напряженного состояния / Ю. Н. Радаев // Вестник СамГУ. 2017. № 4. С. 336–365.

10. Nejati, M. Crack Tip Asymptotic Field and K-Dominant Region for Anisotropic Semicircular Bend Specimen / M. Nejati, S. Ghouli, M. R. Ayatollahi // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. 2020. Vol. 109. Р. 102640. https://doi.org/10.1016/j.tafmec.2020.102640.

11. Черепанов, Г. П. Об одном методе решения упругопластической задачи / Г. П. Черепанов // Прикладная математика и механика. 1963. Т. 27, № 3. С. 644–655. https://doi.org/10.1016/0021-8928(63)90151-5.

12. Ивлев, Д. Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела / Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов. М.: Наука, 1978. 208 с.

13. Остросаблин, Н. Н. Определение смещений в задаче Л. А. Галина / Н. Н. Остросаблин // Динамика сплошных сред. 1973. № 14. С. 67−70.

14. Гундина, М. А. Метод асимптотических разложений в задачах распространения трещин. Нахождение коэффициента нелинейности / М. А. Гундина // Веснік Магілёўскага дзяржаўнага ўніверсітэта імя А. А. Куляшова. Сер. В. Прыродазнаўчыя навукі (матэматыка, фізіка, біялогія). 2019. Т. 53, № 1. С. 63–70.

15. Старовойтов, Э. И. Сопротивление материалов / Э. И. Старовойтов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. 384 с.

16. Александровский, С. В. Нелинейные деформации бетона при сложных режимах нагружения / С. В. Александровский, Н. А. Колесников // Бетон и железобетон. 1976. № 4. С. 27–32.

17. Ибрагимов, В. А. Напряженно-деформированное состояние вблизи конца растущей трещины в упругопластической среде / В. А. Ибрагимов // Прикладная математика и механика. 1976. Т. 40, № 2. С. 311–319. https://doi.org/10.1016/0021-8928(76)90068-x.

18. Шмелев, А. В. Идентификация параметров полилинейных моделей металлов, применяемых при численном моделировании процессов пластического деформирования и разрушения конструкций / А. В. Шмелев, А. Г. Кононов, А. В. Омелюсик // Наука и образование. 2017. № 1. С. 1–17.

19. Trifan, D. A New Theory of Plastic Flow / D. Trifan // Quarterly of Applied Mathematics. 1949. Vol. 7, Nо 2. P. 201–211. https://doi.org/10.1090/qam/30426.

20. Nikishkov, G. P. An Algorithm and a Computer Program for the Three-Term Asymptotic Expansion of Elastic-Plastic Crack Tip Stress and Displacement Fields / G. P. Nikishkov // Engineering Fracture Mechanics. 1995. Vol. 50, No 1. P. 65–83. https://doi.org/10.1016/0013-7944(94)00139-9.