Действие сосредоточенной силы на 1/8 однородного изотропного пространства

На примере вертикальных перемещений показано, что, комбинируя решение задачи об определении вертикальных перемещений от действия четырех симметрично приложенных на упругое полупространство одинаковых сосредоточенных сил и двух симметрично приложенных на упругое четвертьпространство одинаковых сосредоточенных сил, можно получить решение о действии одной силы на 1/8 упругого пространства со свободными гранями. Для нахождения вертикальных перемещений в упругом полупространстве используется решение Буссинеска, а вертикальных перемещений в упругом четвертьпространстве – интегральное уравнение, полученное Я. С. Уфляндом для определения вертикальных перемещений грани однородного упругого изотропного четвертьпространства, для которого модуль деформаций и коэффициент Пуассона являются постоянными величинами. Однако интегральное уравнение Я. С. Уфлянда весьма неудобно для практического использования, поэтому в статье для нахождения вертикальных перемещений грани упругого четвертьпространства от действия сосредоточенной силы предложено приближенное выражение, записанное через элементарные функции. Для получения последнего применяется метод специальной аппроксимации. Искомое решение выражается также через элементарные функции. При этом точный расчет получается для несжимаемого материала при коэффициенте Пуассона 1/8 пространства n = 0,5. Поскольку решение получено в случае действия на 1/8 упругого пространства сосредоточенной силы, то легко найти выражение для определения вертикальных перемещений грани 1/8 упругого пространства от действия любой распределенной нагрузки путем интегрирования по участку действия данной нагрузки от функции влияния, в качестве которой берется искомое решение. Предлагаются рекомендации по повышению точности расчетов. Изложенный подход может быть также использован для определения напряженно-деформированного состояния 1/8 пространства как с шарнирно опертыми, так и со свободными гранями.

1. Босаков, C. B. Действие сосредоточенной силы на упругое четвертьпространство / С. В. Босаков // Теоретическая и прикладная механика: Междунар. науч.-техн. сб. / БПИ. Минск: Вышэйш. шк., 1988. Вып. 15. С. 100-108.

2. Уфлянд, Я. С. Некоторые пространственные задачи теории упругости для клина / Я. С. Уфлянд // Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. М.: Наука, 1972. С. 549-553.

3. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. И. Рыжик. М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.

4. Развитие теории контактных задач в СССР / Академия наук СССР, Ин-т проблем механики; отв. ред. Л. А. Галин. М.: Наука, 1976. 496 с.

5. Ефимов, А. Б. Сосредоточенное воздействие на упругий несжимаемый клин / А. Б. Ефимов, Д. Г. Ефимов // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1986. № 6. С. 89-92.

6. Александров, В. М. Действие полосового штампа на упругий пространственный клин / В. М. Александров, Д. А. Пожарский // Прикладная механика. 1992. Т. 28, № 1. С. 49-54.

7. Сен-Венан, Б. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм / Б. Сен-Венан. М.: Из-во физ.-матем. лит., 1961. 518 с.

8. Hete´nyi, M. A General Solution for the Elastic Quarterspace / M. Hete´nyi // Journal of Applied Mechanics. 1970. Vol. 37, No 1. P. 75-80. https://doi.org/10.1115/1.3408492.

9. Горбунов-Посадов, М. И. Расчет конструкций на упругом основании / М. И. Горбунов-Посадов, Т. А. Маликова, В. И. Соломин. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Стройиздат, 1984. 680 с.

10. Жемочкин, Б. Н. Практические методы расчетов фундаментных балок и плит на упругом основании / Б. Н. Жемочкин, А. П. Синицын. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Госстройиздат, 1962. 240 с.