Доктор технических наук
Адрес для переписки: Степаненко Дмитрий Александрович –Белорусский национальный технический университет,ул. Я. Коласа, 22,220013, г. Минск, Республика Беларусь.Тел.: +375 17 293-91-01stepd@tut.by
Address for correspondence: Stepanenko Dmitry A. – Belarusian National Technical University,22, Ya. Kolasa str.,220013, Minsk, Republic of Belarus.Tel.: +375 17 293-91-01stepd@tut.by
Аспирант
г. Минск
Minsk
Рассмотрена методика расчета собственных частот колебаний неравнотолщинных колец, основанная на использовании вариационного принципа Гамильтона и теорий колебаний криволинейных балок типа Эйлера – Бернулли и Тимошенко. Решения задачи представляются в виде рядов Фурье, что позволяет свести ее к решению системы линейных алгебраических уравнений. Задача определения собственных частот сводится при этом к обобщенной задаче на собственные значения матриц. На основе сравнения численных результатов, полученных для эксцентричного кольца, с результатами расчетов методом конечных элементов показаны преимущества использования теории Тимошенко, включающие в себя повышение точности вычислений и возможность идентификации радиальных и радиально-изгибных собственных форм. Исследована возможность снижения вычислительных затрат при использовании теории Тимошенко за счет представления определителя описывающей задачу блочной матрицы в виде произведения определителей более низких порядков. Показано, что соотношения, полученные на основе теории Эйлера – Бернулли, в частном случае равнотолщинного кольца приводят к известным аналитическим формулам для собственных частот колебаний кольца. Полученные результаты могут быть использованы для расчета кольцевых концентраторов ультразвуковых колебаний. Преимущество предлагаемого метода по сравнению с другими известными подходами, например методом гармонического баланса, состоит в отсутствии необходимости работы с дифференциальными или интегро-дифференциальными уравнениями колебаний, которые в случае неравнотолщинных колец имеют достаточно сложную структуру и требуют для своего решения применения вычислительно-затратных операций, например дискретной свертки.
The paper considers a method for calculating the natural frequencies of vibrations of unequal-thickness rings, based on application of Hamilton’s variational principle and theories of vibrations of curved beams of the Euler-Bernoulli and Timoshenko type. Solutions of the problem are represented as Fourier series providing possibility of its reduction to the system of linear algebraic equations. The problem of determining natural frequencies is reduced to a generalized problem for the eigenvalues of matrices. Based on a comparison of the numerical results obtained for an eccentric ring with the results of calculations by the finite element method, the advantages of using the Timoshenko theory are shown, including increased calculation accuracy and the possibility to identify radial and radial-flexural eigenmodes. The possibility of reducing computational costs when using the Timoshenko theory is explored by representing the determinant of the block matrix describing the problem as a product of lower-order determinants. It is shown that the relations obtained on the basis of the Euler-Bernoulli theory, in the particular case of equal-thickness ring, lead to the well-known analytical formulas for the natural frequencies of the ring oscillations. The obtained results can be used to calculate ring concentrators of ultrasonic vibrations. The advantage of the proposed method in comparison with other known approaches, for example, the harmonic balance me-thod, consists in no need for the work with differential or integral-differential equations of vibrations, which are a rather complex structure for the case of unequal-thickness rings and require the use of computationally expensive operations, for example, discrete convolution, for their solution.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.