Кандидат физико-математических наук, доцент
Адрес для переписки:Ласый Петр Григорьевич –Белорусский национальный технический университет,ул. Б. Хмельницкого, 9, 220013, г. Минск, Республика Беларусь.Тел.: +375 17 292-82-73kafvm2@bntu.by
Address for correspondence;Lasy Petеr G.–Belarusian National Technical University,9, B. Khmelnitskogo str.,220013, Minsk, Republic of Belarus.Tel.: +375 17 292-82-73kafvm2@bntu.by
В статье рассматривается смешанная задача с краевыми условиями второго рода для одномерного волнового уравнения. Решение этой задачи записывается в интегральной форме с помощью функции Грина. Для практического использования это решение малопригодно, так как, во-первых, функция Грина представляет собой тригонометрический ряд и, следовательно, ее вычисление представляет определенные трудности, во-вторых, приходится приближенно вычислять пять интегралов с функцией Грина, входящих в решение задачи, и, в-третьих, крайне затруднительно оценить погрешность приближенного вычисления решения. В настоящей работе преодолены эти трудности, а именно, для функции Грина найдено простое выражение через периодическую кусочно-линейную функцию, интегралы, входящие в приближенное решение, вычисляются с помощью периодических кусочно-линейной, кусочно-квадратичной и кусочно-кубической функций, и, наконец, получена простая и эффективная оценка погрешности аппроксимации. Оценка погрешности линейна по шагам сеток задачи и в любой фиксированный момент времени равномерна по пространственной переменной. Таким образом, приближенное решение задачи со сколь угодно малой погрешностью эффективно выражается через элементарные функции. Приведен пример решения задачи предложенным методом, а также построены графики точного и приближенного решений.
The paper considers a mixed problem with boundary conditions of the second kind for a one-dimensional wave equation. The solution to this problem is written in integral form using the Green’s function. For practical use, this solution is of little use, since, firstly, the Green’s function is a trigonometric series and, therefore, its calculation presents certain difficulties, secondly, it is necessary to calculate approximately the five integrals with the Green’s function included in the solution of the problem, and, thirdly, it is extremely difficult to estimate the error of the approximate calculation of the solution. In this work, these difficulties are overcome, namely, simple expression for the Green’s function is found in terms of a periodic piecewise linear function, the integrals included in the approximate solution are calculated using periodic piecewise linear, piecewise quadratic and piecewise cubic functions, and, finally, a simple and efficient estimate of the approximation error is obtained. The error estimate is linear in the grid steps of the problem and uniform in the spatial variable at any fixed point in time. Thus, an approximate solution of the problem with an arbitrarily small error is effectively expressed in terms of elementary functions. An example of solving the problem by the proposed method is given, and graphs of the exact and approximate solutions are plotted.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.