Доктор физико-математических наук, профессор
Адрес для переписки: Мелешко Иван Николаевич - Белорусский национальный технический университет, ул. Я. Коласа, 12/2, 220013, г. Минск, Республика Беларусь. Тел.: +375 17 292-82-73 kafvm2@bntu.by
Address for correspondence: Melashko Ivan N. - Belarusian National Technical University, 12/2, Ya. Kolasa str., 220013, Minsk, Republic of Belarus. Tel.: +375 17 292-82-73 kafvm2@bntu.by
Построены и исследованы простейшие приближенные формулы для численного интегрирования функций, содержащих осциллирующие множители специального вида с параметром. Общие квадратурные формулы в этом случае могут быть использованы только при достаточно малых значениях параметра. Следовательно, чтобы получить формулы численного интегрирования, пригодные при изменении параметра в широких границах, необходимо заранее учитывать наличие сильно осциллирующих множителей. Это можно сделать, принимая, например, такие множители за весовые функции. Кроме того, поскольку параметр способен принимать значения, которые заранее предвидеть не всегда можно, приближенные формулы для вычисления таких интегралов необходимо строить так, чтобы они содержали этот параметр в буквенном виде и были пригодны для вычисления при любых, в частности при больших, значениях параметра. Вычислительные правила, обладающие такими свойствами, обычно получают путем разбиения промежутка интегрирования на элементарные с последующим приближением плотности интеграла на каждом элементарном промежутке многочленами первой, второй и третьей степеней, принимая при этом осциллирующие множители за весовые функции. В статье рассмотрен тот вариант, когда плотность интегралов на каждом элементарном промежутке аппроксимируется многочленом нулевой степени – константой, равной значению плотности в середине этого промежутка. Попутно сконструирована одна приближенная формула для вычисления несобственного интеграла по бесконечному промежутку от функции, содержащей осциллирующий множитель специального вида. При этом предполагали, что плотность несобственного интеграла достаточно быстро стремится к нулю, когда модуль аргумента неограниченно возрастает. Другими словами, она считается пренебрежимо малой вне некоторого конечного отрезка. Получены равномерные по параметру оценки погрешностей приближенных формул, позволяющие вычислять интегралы с заданной точностью.
Elementary approximate formulae for numerical integration of functions containing oscillating factors of a special form with a parameter have been proposed in the paper. In this case general quadrature formulae can be used only at sufficiently small values of the parameter. Therefore, it is necessary to consider in advance presence of strongly oscillating factors in order to obtain formulae for numerical integration which are suitable in the case when the parameter is changing within wide limits. This can be done by taking into account such factors as weighting functions. Moreover, since the parameter can take values which cannot always be predicted in advance, approximate formulae for calculation of such integrals should be constructed in such a way that they contain this parameter in a letter format and they are suitable for calculation at any and particularly large values of the parameter. Computational rules with such properties are generally obtained by dividing an interval of integration into elementary while making successive approximation of the integral density at each elementary interval with polynomials of the first, second and third degrees and taking the oscillating factors as weighting functions. The paper considers the variant when density of the integrals at each elementary interval is approximated by a polynomial of zero degree that is a constant which is equal to the value of density in the middle of the interval. At the same time one approximate formula for calculation of an improper integral with infinite interval of the function with oscillating factor of a special type has been constructed in the paper. In this case it has been assumed that density of the improper integral rather quickly goes to zero when an argument module is increasing indefinitely. In other words it is considered as small to negligible outside some finite interval. Uniforms in parameter used for evaluation of errors in approximate formulae have been obtained in the paper and they make it possible to calculate integrals with the required accuracy.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.